Андрей Ефимович родился 30 октября 1906 года в крестьянской семье в деревне Иевлево Калининской области. После окончания гидротехнического факультета Московского института водного хозяйства и мелиорации, он проходил учебную производственную практику на ДнепроГЭС.
Во время войны, получив звание военного инженера, прибыл на Карельский фронт. Именно здесь, на Карельских болотах Андрей Бочкин построил свою первую ГЭС: крохотную, с одной деревянной турбиной, используя семиметровую разность уровней двух маленьких озер.
После Победы Андрей Ефимович возглавил строительство Невинномысского канала и Свистухинской ГЭС. Затем он покорил новые высоты: построил Южно-Украинский и Северо-Крымский каналы. В 1953 году направлен на Ангару начальником строительства Иркутской ГЭС, за успешное возведение которой был удостоен звания Героя Социалистического Труда.
А в декабре 1959 года Андрей Бочкин стал начальником строительства Красноярской ГЭС. Именно здесь в полной мере проявился выдающийся талант Бочкина.
Во время строительства Красноярской Гидроэлектростанции Андрею Ефимовичу пришлось принять много непростых и инновационных для своего времени решений. А еще впервые в истории гидростроения произвел перекрытие Енисея в зимних условиях, во время минимального водного потока.
После пуска последних гидроагрегатов, совсем немного недоработав до ввода в эксплуатацию Красноярской ГЭС, по состоянию здоровья Андрей Ефимович был вынужден уйти на заслуженный отдых, после чего уехал в Москву.
Похоронен Андрей Ефимович на Ваганьковском кладбище в Москве. Там на постаменте из Саянского мрамора установлен его бюст из бронзы. На постаменте надпись «Главному гидростроителю страны».
13 июля 1971 года ему было присвоено звание «Почетный гражданин города Дивногорска». Жители увековечили его имя в названии улицы, переименовав улицу Центральную, в улицу, имени Героя Социалистического труда Андрея Ефимовича Бочкина. Также имя Андрея Ефимовича Бочкина присвоено Дивногорскому гидроэнергетическому техникуму и гимназии № 10.